\subsection{综合}

	\begin{ti}
		设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则\kuo.

		\onech{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} a_{n}$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} + a_{n+1})$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 必收敛}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		下列命题中正确的是\kuo.

		\onech{若 $u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots)$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$}{若 $u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots), \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛}{若 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1, \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛}{若 $w_{n} < u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots), \sum_{n=1}^{\infty} w_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且导函数 $f'(x)$ 有界，证明：
		\begin{enumerate}
			\item 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \bigl[ f \bigl( \frac{1}{n} \bigr) - f \bigl( \frac{1}{n + 1} \bigr) \bigr]$ 绝对收敛;
			\item $\lim_{n \to \infty} f \bigl( \frac{1}{n} \bigr)$ 存在.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a$ 为正数，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n} n!}{n^{n}}$ 收敛，而
		\[
			\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n - 2}}{n^{a}}
		\]
		发散，则\kuo.

		\twoch{$a \leq \frac{1}{2}$}{$\frac{1}{2} < a < \ee$}{$a > \ee$}{$a = \ee$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数，$|f'(x)| < k f(x)$，其中 $0 < k < 1$. 任取实数 $a_{0}$，定义 $a_{n} = \ln f (a_{n-1}), n = 1,2,\cdots$，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} - a_{n-1})$ 绝对收敛.
	\end{ti}